SlideShare a Scribd company logo
1 of 8
Download to read offline
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                            http://ampmaths.wordpress.com

                                                   ความน่าจะเป็น
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทางานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทาได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะ
ทางานอย่างที่สองได้อีก n2 วิธี จานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1n2 วิธี
กฎข้อที่ 2 การทางานหลายอย่าง ถ้าทางานอย่างแรกมีวิธีทาได้ n1 วิธี ซึ่งในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกมีวิธีที่จะทางาน
อย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกและงานอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สามได้อีก n3 วิธี
เป็นดังนี้ต่อๆ ไป จานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทางาน k อย่างจะเท่ากับ n1n2n3…nk วิธี
การคูณ มักมีคาว่า “และ”
        ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมี k ขั้นตอนต่อเนื่องกัน
 ขั้นตอนที่      1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี
 ขั้นตอนที่      2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี
 ขั้นตอนที่      3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี

ขั้นตอนที่        k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมดเท่ากับ        m1m2m3…mk วิธี
การบวก มักมีคาว่า “หรือ”
 ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมีหลายแบบ และในแต่ละแบบไม่ต่อเนื่องกัน
 แบบที่        1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี
 แบบที่        2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี
 แบบที่        3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี

แบบที่        k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมด          = m1+m2+m3+…+mk วิธี
ตัวอย่างที่ 1 นาย ก มีกางเกง 2 ตัว เสื้อ 4 ตัว และถุงเท้า 3 คู่ อยากทราบว่าเขาจะมีจานวนการแต่งกาย
              ด้วยกางเกง เสือ และถุงเท้าได้กีชุด
                            ้                ่
วิธีทา


ตัวอย่างที่ 2 ในการรับประทานอาหารครั้งหนึ่ง มีอาหารคาว 5 อย่าง ของหวาน 3 อย่าง และเครื่องดื่ม 4 ชนิด
              อยากทราบว่า พี่แอมจะรับประทานอาหารชนิดละ 1 อย่าง พี่แอมจะรับประทานอาหารในครั้งนี้ได้กี่วิธี
วิธีทา


ตัวอย่างที่ 3 เป้ มีกางเกง 2 สี คือสีเขียวและสีแดง มีเสื้อ 4 สี คือสีขาว, สีแดง, สีเหลือง, และสีชมพู
        3.1 เป้จะเลือกแต่งตัวได้กี่แบบโดยสามารถใส่เสื้อและกางเกงคู่ไหนก็ได้
        ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
        3.2 ถ้าเป้ไม่ใส่เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน เป้จะแต่งตัวได้กี่แบบ
        ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
                                                                                                                    1
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                         http://ampmaths.wordpress.com

ตัวอย่างที่ 4 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 6 ถ้านามาจัดเป็นเลข 4 หลัก จะมีกี่จานวนที่เป็นจานวนคู่ (ใช้ตัวเลขไม่ซ้ากัน)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 5
5.1 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่ง ได้กี่วิธี       5.2 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่งได้กี่วิธี
…………………………………………………………………………………                        …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………                        …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………                        …………………………………………………………………………………………
5.3 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี        5.4 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี
…………………………………………………………………………………                        …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………                        …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………                        …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 6 ให้ S = {0, 1, 2, 3, …, 9} จะสร้างจานวนเต็มบวก โดยใช้ตัวเลขจากเซต S ได้กี่จานวน
6.1 จานวนเต็มบวก 4 หลัก                                   6.2 จานวนเต็มบวก 4 หลัก เป็นจานวนเต็มหลักสิบ
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
6.3 จานวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก                                6.4 จานวนเต็มคู่บวก 4 หลัก
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 7 มีเรือโดยสารข้ามฟากระหว่างท่าคลองสานกับท่าสี่พระยา 2 ขนาด คือ เรือขนาดใหญ่ 3 ลา และเรือขนาดเล็ก
5 ลา ถ้าดารงซึ่งพักอยู่ทางฝั่งคลองสานต้องใช้เรือข้ามฟากจากคลองสานไปสี่พระยาทั้งไปและกลับทุกวัน ดารงจะเลือกลง
เรือโดยสารไปและกลับได้กี่วิธี ถ้า
7.1. ไปและกลับด้วยเรือขนาดใหญ่                 7.2 ไปและกลับด้วยเรือขนาดเล็ก 7.3 ไปด้วยเรือขนาดใหญ่ และกลับ
…………………………………………………………….. ……………………………………………….                                     ด้วยเรือขนาดเล็ก
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
                                                                                                                2
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                        http://ampmaths.wordpress.com

ทดสอบฝีมือ จ้ะ
1. จะจัดชาย 4 คน และหญิง 4 คน เข้าแถวตรงได้กี่วิธี ถ้าให้ชายและหญิงยืนสลับกัน



2. จากคา “CHULA” ถ้านาตัวอักษรจากคานี้มาจัดเป็นคาใหม่ (โดยไม่คานึงถึงความหมาย) จะได้กี่คา (ไม่นับคาเดิม)



3. ต้องการสร้างคาจากตัวอักษรของคาว่า mathematics โดยสร้างคาที่ประกอบไปด้วยตัวอักษร 4 ตัว ไม่ซ้ากัน
   และคาที่สร้างขึ้นมาไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จงหาจานวนคาทั้งหมดเมื่อ
   3.1 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวจะเป็นตัวใดก็ได้             3.2 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวเป็นพยัญชนะล้วน
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
   3.3 คาที่สร้างขึ้นต้นด้วยสระและลงท้ายด้วยพยัญชนะ 3.4 คานั้นต้องมีสระอย่างน้อย 1 ตัว
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

แฟกทอเรียล (Factorial) คือผลคูณของเลขจานวนเต็มบวกที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง n
                          เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า “แฟกทอเรียล n” หรือ “n แฟกทอเรียล”
ข้อสังเกต อาจเขียน n! ในรูปผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 1
          หรือ จานวนเต็มทีมากกว่า 1 ก็ได้
                           ่
นั่นคือ n! = 1 x 2 x 3 x … x n หรือ n! = n(n-1)(n-2)…321 หรือ n! = n(n-1)(n-2)…(n-r)! เมื่อ r < n
เช่น 7! = 1234567 หรือ 7! = 7654321                หรือ 7! = 765!
ตัวอย่าง 8 จงเขียนแฟกทอเรียลต่อไปนี้ในรูปผลคูณ
1.      0! = 1
2.      1! = 1
3.      2! = 2x1                =2
4.      3! = 3x2x1              =6
5.      4! = 4x3x2x1            = 24
6.      5! =………………………………………………………………………………………………………………………
6.      n! =………………………………………………………………………………………………………………………
7.      (n+1)! = ………………………………………………………………………………………………………………
8.      (n-2)! = ………………………………………………………………………………………………………………
9.      (n+r)! = ……………………………………………………………………………………………………………..
                                                                                                           3
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                  http://ampmaths.wordpress.com

ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าแฟกทอเรียลต่อไปนี้
        4!                                            12!
  9.1        =                                 9.2           =
         3!                                           10!

         5!                                           11!
 9.3          =                                9.4           =
         6!                                           12!

              n!                                       n+1 !
 9.5               =                           9.6               =
          n-1 !                                         n-3 !


         41!       6!                                 n-3 ! n-5 !
 9.7           +          =                    9.8                      =
         39!       2!3!                               n-4 ! n-6 !




ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้
             n!                                         n!
  10.1           = 10                          10.2              = 72
           n-1 !                                       n-2 !
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
              n!                                       n+1 !
10.3               =156                        10.4              =420
          n-2 !                                         n-1 !
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….               ……………………………………………………………………………………….
                                                      n+2 ! n+1 n!
 10.5 10(n - 3)!n! = (n - 2)!(n + 1)!          10.6                         =4! n-1 !
                                                        (n+1)!
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
                            วิธีเรียงสับเปลี่ยน
                                                                                                 4
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                              http://ampmaths.wordpress.com

         การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) หมายถึง การเรียงลาดับสิ่งของจานวนหนึ่งโดยเรียงครั้งละกี่สิ่งก็ได้ ขึ้นอยู่กับ
รูปแบบการจัดเรียงสิ่งของ
         1. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง
กฎข้อที่ 3 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด n! วิธี
   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์            Pn, n= n!
ตัวอย่างที่ 9 มีนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงเป็นแถวตรง จงหาจานวนวิธีจัดนักเรียนทั้งหมด โดยที่
  9.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

 9.2 เพศเดียวกันยืนติดกัน



 9.3 ชายและหญิงยืนสลับที่ทีละ 1 คน




ข้อสังเกต ชาย n คน หญิง n คน นามาจัดสลับแนวตรงทีละ r คน (จะจัดได้เมื่อ r หาร n ลงตัว)
          จานวนวิธีจดเท่ากับ 2n!n! หรือ 2(n!)2 วิธี
                    ั

         2. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง
                                                                                                                 n!
กฎข้อที่ 4 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด        วิธี
                                                                                                                 n-r !
                                             n!
  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์            Pn, r =
                                             n-r !
ตัวอย่างที่ 10 กาหนดเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะสร้างจานวนที่มี 5 หลัก โดยที่แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ากันจะสร้างได้ทั้งหมด
กี่จานวน โดยที่
   10.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม


 10.2 แต่ละหลักสลับเลขคี่และเลขคู่




         3. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด
                                                                                                                             5
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                                          http://ampmaths.wordpress.com

กฎข้อที่ 5 มีสิ่งของ n สิ่ง แบ่งเป็น k กลุ่ม ในแต่ละกลุ่มมีสิ่งของเหมือนกัน ดังนี้
 กลุ่มที่          1 มีของเหมือนกัน n1 สิ่ง
 กลุ่มที่          2 มีของเหมือนกัน n2 สิ่ง
 กลุ่มที่          3 มีของเหมือนกัน n3 สิ่ง
            .                        .
            .                        .
            .                        .
          กลุ่มที่ k มีของเหมือนกัน nk สิ่ง
 โดยที่           n1 + n2 + n3 + … + nk = n
                                     n!
 จะได้จานวนวิธีจัด
                               n1 !n2 !n3 !…nk !


ตัวอย่างที่ 11 ต้องการสร้างคาจากคาว่า “fibonacci” โดยไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คา โดยที่
  11.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม


 11.2 อักษร c อยู่ติดกัน


 11.3 อักษร c อยู่ริม


         4. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลม
กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นามาจัดเรียงเป็นวงกลม (พลิกไม่ได้) จะจัดได้ทั้งหมด (n-1)! วิธี
ตัวอย่างที่ 12 ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูกอีก 4 คน นามาจัดให้ยืนเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี โดยที่
  12.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม


 12.2 พ่อและแม่ยืนติดกัน และลูกทั้งสี่คนยืนติดกัน




 12.3 พ่อและแม่ยืนไม่ติดกัน




                                                                                            (n-1)!
ตัวอย่างที่ 13 มีมีดของ n สิ่งที่ต่างกันดอกละ ด1เรีสีงเป็ามาร้อยเป็นพวงมาลัย ดได้ทั้งกี่วิธี โดยที่
  หมายเหตุ ถ้า สิ่ง อกไม้ 10 ดอก นามาจั ย น นวงกลม (ที่พลิกได้) จะจั จะได้ หมด
                                                                                               2

                                                                                                                         6
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                                 http://ampmaths.wordpress.com

 13.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

 13.2 ดอกไม้สีชมพูและสีเหลืองอยู่ติดกัน


         วิธีจัดหมู่หรือวิธีการเลือก
กฎข้อที่ 7 ถ้ามีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นามาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง (0  r  n) จะจัดได้
                                        n        n!
                             Cn, r =        =
                                         r     n-r !r!


ตัวอย่างที่ 14 กาหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหา
  14.1 จานวนส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมระหว่าง 2 จุด


 14.2 จานวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม


 14.3 จานวนเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม


                                                   ความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่ม (random experiment) คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้
อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น
แซมเปิลสเปซ (sample space) คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม โดย
จานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน แทนด้วย n(S)
เหตุการณ์ (event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ หรือ คือเหตุการณ์ที่เราสนใจตามเงื่อนไข โดย จานวนสมาชิกของ
เหตุการณ์ แทนด้วย n(E)

ตัวอย่างที่ 15 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมของของลูกเต๋าทั้งสองลูก จงเขียน
  15.1 แซมเปิลสเปซ และ n(S)


 15.2 E1 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคี่


 15.2 E2 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมีค่าน้อยกว่า 7


ความน่าจะเป็น (Probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจานวนสมาชิก
                                                                                                                7
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น                                             http://ampmaths.wordpress.com

ของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
 ให้          n(E) แทนจานวนสมาชิกของเหตุการณ์
              n(S) แทนจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน
              P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
                      n(E)
      จะได้ P(E) =
                          n(S)


ตัวอย่างที่ 16 ต้องการสร้างคาที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จากคาว่า “lofrance” โดยไม่คานึงถึงความหมาย
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
  16.1 อักษรตัวแรกเป็นสระ




 16.2 อักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายเป็นพยัญชนะ



 16.3 คาที่ประกอบด้วยสระ 2 ตัวอยู่ติดกัน




ตัวอย่างที่ 17 ถ้าสุ่มหยิบลูกปิงปอง 3 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีส้ม 4 ลูก และสีขาว 7 ลูก
ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกปิงปองสีส้มทั้ง 3 ลูก เป็นเท่าใด




                                                                                                            8

More Related Content

What's hot

แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...เล็ก น่ารัก
 
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการบทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการsawed kodnara
 
เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)
เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)
เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)Thanuphong Ngoapm
 
พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)
พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)
พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)mickytanawin
 
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติkanjana2536
 
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวรรณิภา ไกรสุข
 
โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2
โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2
โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2ทับทิม เจริญตา
 
อสมการ ม3
อสมการ ม3 อสมการ ม3
อสมการ ม3 Prang Donal
 
ใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟ
ใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟ
ใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟFern Monwalee
 
บทที่ 2 พหุนาม
บทที่ 2  พหุนามบทที่ 2  พหุนาม
บทที่ 2 พหุนามsawed kodnara
 
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2คุณครูพี่อั๋น
 
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2 (คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2 KruPa Jggdd
 
งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201
งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201 งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201
งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201 Tawan Thongsan
 
กิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียน
กิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียนกิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียน
กิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียนWichai Likitponrak
 

What's hot (20)

G6 Maths Circle
G6 Maths CircleG6 Maths Circle
G6 Maths Circle
 
แบบฝึกการคูณและหารพหุนาม
แบบฝึกการคูณและหารพหุนามแบบฝึกการคูณและหารพหุนาม
แบบฝึกการคูณและหารพหุนาม
 
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
 
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการบทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
 
เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)
เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)
เมทริกซ์_9วิชาสามัญ(55-58)
 
พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)
พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)
พื้นที่และปริมาตร 1 (Area and volume 1)
 
สมการตรีโกณ
สมการตรีโกณสมการตรีโกณ
สมการตรีโกณ
 
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
 
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ใบงานเรื่องปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
 
โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2
โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2
โจทย์ปัญหาการหารไม่มีเศษป.2
 
แบบฝึกเสริมทักษะป.6
แบบฝึกเสริมทักษะป.6แบบฝึกเสริมทักษะป.6
แบบฝึกเสริมทักษะป.6
 
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
 
อสมการ ม3
อสมการ ม3 อสมการ ม3
อสมการ ม3
 
ใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟ
ใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟ
ใบงานเรื่องคู่อันดับและกราฟ
 
บทที่ 2 พหุนาม
บทที่ 2  พหุนามบทที่ 2  พหุนาม
บทที่ 2 พหุนาม
 
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 2 ฉบับที่ 2
 
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2 (คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
 
งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201
งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201 งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201
งานแก้วิชาคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ค32201
 
โจทย์ปัญหาการบวกลบระคนป.1
โจทย์ปัญหาการบวกลบระคนป.1โจทย์ปัญหาการบวกลบระคนป.1
โจทย์ปัญหาการบวกลบระคนป.1
 
กิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียน
กิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียนกิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียน
กิจกรรมการคิดเกมค่ายนักเรียน
 

Viewers also liked

Prob[1]
Prob[1]Prob[1]
Prob[1]IKHG
 
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลมเอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลมkroojaja
 
คณิต ป.6 หน่วยที่1
คณิต ป.6 หน่วยที่1คณิต ป.6 หน่วยที่1
คณิต ป.6 หน่วยที่1Thanakorn Kamsan
 
จำนวนนับ ป.6
จำนวนนับ ป.6จำนวนนับ ป.6
จำนวนนับ ป.631052529pp
 
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อนAแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อนkrupornpana55
 
Arithmetic บวกลบคูณหาร
Arithmetic บวกลบคูณหารArithmetic บวกลบคูณหาร
Arithmetic บวกลบคูณหารb39suki
 
ใบงานรูปเรขาคณิต
ใบงานรูปเรขาคณิตใบงานรูปเรขาคณิต
ใบงานรูปเรขาคณิตLittle Eye
 
เออาร์Pdf
เออาร์Pdfเออาร์Pdf
เออาร์Pdfpmthan
 
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3ยินดี ครูคณิตสงขลา
 
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวkroojaja
 
เล่มที่ 1 คูณ
เล่มที่ 1 คูณเล่มที่ 1 คูณ
เล่มที่ 1 คูณRachain Muangngam
 
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6Jaar Alissala
 

Viewers also liked (20)

67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
 
Prob[1]
Prob[1]Prob[1]
Prob[1]
 
5.สูตรการหาความน่าจะเป็น
5.สูตรการหาความน่าจะเป็น5.สูตรการหาความน่าจะเป็น
5.สูตรการหาความน่าจะเป็น
 
68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่
68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่
68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่
 
คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1
คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1
คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1
 
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลมเอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
 
คณิต ป.6 หน่วยที่1
คณิต ป.6 หน่วยที่1คณิต ป.6 หน่วยที่1
คณิต ป.6 หน่วยที่1
 
จำนวนนับ ป.6
จำนวนนับ ป.6จำนวนนับ ป.6
จำนวนนับ ป.6
 
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อนAแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
 
Arithmetic บวกลบคูณหาร
Arithmetic บวกลบคูณหารArithmetic บวกลบคูณหาร
Arithmetic บวกลบคูณหาร
 
ใบงานรูปเรขาคณิต
ใบงานรูปเรขาคณิตใบงานรูปเรขาคณิต
ใบงานรูปเรขาคณิต
 
บทที่ 6 ความน่าจะเป็น
บทที่ 6 ความน่าจะเป็นบทที่ 6 ความน่าจะเป็น
บทที่ 6 ความน่าจะเป็น
 
เออาร์Pdf
เออาร์Pdfเออาร์Pdf
เออาร์Pdf
 
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
 
คณิต ป.6
คณิต ป.6คณิต ป.6
คณิต ป.6
 
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 
เล่มที่ 1 คูณ
เล่มที่ 1 คูณเล่มที่ 1 คูณ
เล่มที่ 1 คูณ
 
โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.
โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.
โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.
 
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
 
สรุปสูตร คณิตศาสตร์ ม.2
สรุปสูตร คณิตศาสตร์ ม.2สรุปสูตร คณิตศาสตร์ ม.2
สรุปสูตร คณิตศาสตร์ ม.2
 

Similar to ความน่าจะเป็น

หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลังหน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลังFern Baa
 
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐานแบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐานNittaya Noinan
 
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdfเอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdfssusera0c3361
 
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อแบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อChantana Wonghirun
 
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อแบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อChantana Wonghirun
 
เอกสารประกอบ สมการ
เอกสารประกอบ สมการ เอกสารประกอบ สมการ
เอกสารประกอบ สมการ warijung2012
 
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)Jirathorn Buenglee
 
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวกิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวJirathorn Buenglee
 
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1guychaipk
 
6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์Toongneung SP
 
แนวข้อสอบPisa
แนวข้อสอบPisaแนวข้อสอบPisa
แนวข้อสอบPisaKruAm Maths
 
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรพัน พัน
 
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวJirathorn Buenglee
 
ใบกิจกรรมที่ 2.1
ใบกิจกรรมที่ 2.1ใบกิจกรรมที่ 2.1
ใบกิจกรรมที่ 2.1othanatoso
 
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรพัน พัน
 
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำเก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำLumyai Pirum
 

Similar to ความน่าจะเป็น (20)

หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลังหน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
 
M1
M1M1
M1
 
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐานแบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
 
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdfเอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
 
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อแบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
 
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อแบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
 
เอกสารประกอบ สมการ
เอกสารประกอบ สมการ เอกสารประกอบ สมการ
เอกสารประกอบ สมการ
 
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
 
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวกิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
 
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
 
บทที่ 1
บทที่ 1บทที่ 1
บทที่ 1
 
6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์
 
Ht 2
Ht 2Ht 2
Ht 2
 
แนวข้อสอบPisa
แนวข้อสอบPisaแนวข้อสอบPisa
แนวข้อสอบPisa
 
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
 
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 
ใบกิจกรรมที่ 2.1
ใบกิจกรรมที่ 2.1ใบกิจกรรมที่ 2.1
ใบกิจกรรมที่ 2.1
 
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
 
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำเก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
 

More from KruAm Maths

ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55KruAm Maths
 
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)KruAm Maths
 

More from KruAm Maths (8)

กคศ.ว30
กคศ.ว30กคศ.ว30
กคศ.ว30
 
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
 
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
 
Geometry
GeometryGeometry
Geometry
 
Numbers
NumbersNumbers
Numbers
 
Square Root 2
Square Root 2Square Root 2
Square Root 2
 
Square Root
Square RootSquare Root
Square Root
 
Pytagorus
PytagorusPytagorus
Pytagorus
 

ความน่าจะเป็น

  • 1. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com ความน่าจะเป็น กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทางานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทาได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะ ทางานอย่างที่สองได้อีก n2 วิธี จานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1n2 วิธี กฎข้อที่ 2 การทางานหลายอย่าง ถ้าทางานอย่างแรกมีวิธีทาได้ n1 วิธี ซึ่งในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกมีวิธีที่จะทางาน อย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกและงานอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สามได้อีก n3 วิธี เป็นดังนี้ต่อๆ ไป จานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทางาน k อย่างจะเท่ากับ n1n2n3…nk วิธี การคูณ มักมีคาว่า “และ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมี k ขั้นตอนต่อเนื่องกัน ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี ขั้นตอนที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี ขั้นตอนที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมดเท่ากับ m1m2m3…mk วิธี การบวก มักมีคาว่า “หรือ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมีหลายแบบ และในแต่ละแบบไม่ต่อเนื่องกัน แบบที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี แบบที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี แบบที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี แบบที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมด = m1+m2+m3+…+mk วิธี ตัวอย่างที่ 1 นาย ก มีกางเกง 2 ตัว เสื้อ 4 ตัว และถุงเท้า 3 คู่ อยากทราบว่าเขาจะมีจานวนการแต่งกาย ด้วยกางเกง เสือ และถุงเท้าได้กีชุด ้ ่ วิธีทา ตัวอย่างที่ 2 ในการรับประทานอาหารครั้งหนึ่ง มีอาหารคาว 5 อย่าง ของหวาน 3 อย่าง และเครื่องดื่ม 4 ชนิด อยากทราบว่า พี่แอมจะรับประทานอาหารชนิดละ 1 อย่าง พี่แอมจะรับประทานอาหารในครั้งนี้ได้กี่วิธี วิธีทา ตัวอย่างที่ 3 เป้ มีกางเกง 2 สี คือสีเขียวและสีแดง มีเสื้อ 4 สี คือสีขาว, สีแดง, สีเหลือง, และสีชมพู 3.1 เป้จะเลือกแต่งตัวได้กี่แบบโดยสามารถใส่เสื้อและกางเกงคู่ไหนก็ได้ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3.2 ถ้าเป้ไม่ใส่เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน เป้จะแต่งตัวได้กี่แบบ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 1
  • 2. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com ตัวอย่างที่ 4 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 6 ถ้านามาจัดเป็นเลข 4 หลัก จะมีกี่จานวนที่เป็นจานวนคู่ (ใช้ตัวเลขไม่ซ้ากัน) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 5 5.1 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่ง ได้กี่วิธี 5.2 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่งได้กี่วิธี ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 5.3 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี 5.4 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 6 ให้ S = {0, 1, 2, 3, …, 9} จะสร้างจานวนเต็มบวก โดยใช้ตัวเลขจากเซต S ได้กี่จานวน 6.1 จานวนเต็มบวก 4 หลัก 6.2 จานวนเต็มบวก 4 หลัก เป็นจานวนเต็มหลักสิบ ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 6.3 จานวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก 6.4 จานวนเต็มคู่บวก 4 หลัก ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 7 มีเรือโดยสารข้ามฟากระหว่างท่าคลองสานกับท่าสี่พระยา 2 ขนาด คือ เรือขนาดใหญ่ 3 ลา และเรือขนาดเล็ก 5 ลา ถ้าดารงซึ่งพักอยู่ทางฝั่งคลองสานต้องใช้เรือข้ามฟากจากคลองสานไปสี่พระยาทั้งไปและกลับทุกวัน ดารงจะเลือกลง เรือโดยสารไปและกลับได้กี่วิธี ถ้า 7.1. ไปและกลับด้วยเรือขนาดใหญ่ 7.2 ไปและกลับด้วยเรือขนาดเล็ก 7.3 ไปด้วยเรือขนาดใหญ่ และกลับ …………………………………………………………….. ………………………………………………. ด้วยเรือขนาดเล็ก …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. 2
  • 3. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com ทดสอบฝีมือ จ้ะ 1. จะจัดชาย 4 คน และหญิง 4 คน เข้าแถวตรงได้กี่วิธี ถ้าให้ชายและหญิงยืนสลับกัน 2. จากคา “CHULA” ถ้านาตัวอักษรจากคานี้มาจัดเป็นคาใหม่ (โดยไม่คานึงถึงความหมาย) จะได้กี่คา (ไม่นับคาเดิม) 3. ต้องการสร้างคาจากตัวอักษรของคาว่า mathematics โดยสร้างคาที่ประกอบไปด้วยตัวอักษร 4 ตัว ไม่ซ้ากัน และคาที่สร้างขึ้นมาไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จงหาจานวนคาทั้งหมดเมื่อ 3.1 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวจะเป็นตัวใดก็ได้ 3.2 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวเป็นพยัญชนะล้วน …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. 3.3 คาที่สร้างขึ้นต้นด้วยสระและลงท้ายด้วยพยัญชนะ 3.4 คานั้นต้องมีสระอย่างน้อย 1 ตัว …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. แฟกทอเรียล (Factorial) คือผลคูณของเลขจานวนเต็มบวกที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า “แฟกทอเรียล n” หรือ “n แฟกทอเรียล” ข้อสังเกต อาจเขียน n! ในรูปผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 1 หรือ จานวนเต็มทีมากกว่า 1 ก็ได้ ่ นั่นคือ n! = 1 x 2 x 3 x … x n หรือ n! = n(n-1)(n-2)…321 หรือ n! = n(n-1)(n-2)…(n-r)! เมื่อ r < n เช่น 7! = 1234567 หรือ 7! = 7654321 หรือ 7! = 765! ตัวอย่าง 8 จงเขียนแฟกทอเรียลต่อไปนี้ในรูปผลคูณ 1. 0! = 1 2. 1! = 1 3. 2! = 2x1 =2 4. 3! = 3x2x1 =6 5. 4! = 4x3x2x1 = 24 6. 5! =……………………………………………………………………………………………………………………… 6. n! =……………………………………………………………………………………………………………………… 7. (n+1)! = ……………………………………………………………………………………………………………… 8. (n-2)! = ……………………………………………………………………………………………………………… 9. (n+r)! = …………………………………………………………………………………………………………….. 3
  • 4. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าแฟกทอเรียลต่อไปนี้ 4! 12! 9.1 = 9.2 = 3! 10! 5! 11! 9.3 = 9.4 = 6! 12! n! n+1 ! 9.5 = 9.6 = n-1 ! n-3 ! 41! 6! n-3 ! n-5 ! 9.7 + = 9.8 = 39! 2!3! n-4 ! n-6 ! ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้ n! n! 10.1 = 10 10.2 = 72 n-1 ! n-2 ! …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n! n+1 ! 10.3 =156 10.4 =420 n-2 ! n-1 ! …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n+2 ! n+1 n! 10.5 10(n - 3)!n! = (n - 2)!(n + 1)! 10.6 =4! n-1 ! (n+1)! …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. วิธีเรียงสับเปลี่ยน 4
  • 5. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) หมายถึง การเรียงลาดับสิ่งของจานวนหนึ่งโดยเรียงครั้งละกี่สิ่งก็ได้ ขึ้นอยู่กับ รูปแบบการจัดเรียงสิ่งของ 1. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง กฎข้อที่ 3 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด n! วิธี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, n= n! ตัวอย่างที่ 9 มีนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงเป็นแถวตรง จงหาจานวนวิธีจัดนักเรียนทั้งหมด โดยที่ 9.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 9.2 เพศเดียวกันยืนติดกัน 9.3 ชายและหญิงยืนสลับที่ทีละ 1 คน ข้อสังเกต ชาย n คน หญิง n คน นามาจัดสลับแนวตรงทีละ r คน (จะจัดได้เมื่อ r หาร n ลงตัว) จานวนวิธีจดเท่ากับ 2n!n! หรือ 2(n!)2 วิธี ั 2. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง n! กฎข้อที่ 4 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด วิธี n-r ! n! เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, r = n-r ! ตัวอย่างที่ 10 กาหนดเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะสร้างจานวนที่มี 5 หลัก โดยที่แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ากันจะสร้างได้ทั้งหมด กี่จานวน โดยที่ 10.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 10.2 แต่ละหลักสลับเลขคี่และเลขคู่ 3. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด 5
  • 6. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com กฎข้อที่ 5 มีสิ่งของ n สิ่ง แบ่งเป็น k กลุ่ม ในแต่ละกลุ่มมีสิ่งของเหมือนกัน ดังนี้ กลุ่มที่ 1 มีของเหมือนกัน n1 สิ่ง กลุ่มที่ 2 มีของเหมือนกัน n2 สิ่ง กลุ่มที่ 3 มีของเหมือนกัน n3 สิ่ง . . . . . . กลุ่มที่ k มีของเหมือนกัน nk สิ่ง โดยที่ n1 + n2 + n3 + … + nk = n n! จะได้จานวนวิธีจัด n1 !n2 !n3 !…nk ! ตัวอย่างที่ 11 ต้องการสร้างคาจากคาว่า “fibonacci” โดยไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คา โดยที่ 11.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 11.2 อักษร c อยู่ติดกัน 11.3 อักษร c อยู่ริม 4. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลม กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นามาจัดเรียงเป็นวงกลม (พลิกไม่ได้) จะจัดได้ทั้งหมด (n-1)! วิธี ตัวอย่างที่ 12 ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูกอีก 4 คน นามาจัดให้ยืนเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี โดยที่ 12.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 12.2 พ่อและแม่ยืนติดกัน และลูกทั้งสี่คนยืนติดกัน 12.3 พ่อและแม่ยืนไม่ติดกัน (n-1)! ตัวอย่างที่ 13 มีมีดของ n สิ่งที่ต่างกันดอกละ ด1เรีสีงเป็ามาร้อยเป็นพวงมาลัย ดได้ทั้งกี่วิธี โดยที่ หมายเหตุ ถ้า สิ่ง อกไม้ 10 ดอก นามาจั ย น นวงกลม (ที่พลิกได้) จะจั จะได้ หมด 2 6
  • 7. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com 13.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 13.2 ดอกไม้สีชมพูและสีเหลืองอยู่ติดกัน วิธีจัดหมู่หรือวิธีการเลือก กฎข้อที่ 7 ถ้ามีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นามาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง (0  r  n) จะจัดได้ n n! Cn, r = = r n-r !r! ตัวอย่างที่ 14 กาหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหา 14.1 จานวนส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมระหว่าง 2 จุด 14.2 จานวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม 14.3 จานวนเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม ความน่าจะเป็น การทดลองสุ่ม (random experiment) คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้ อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น แซมเปิลสเปซ (sample space) คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม โดย จานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน แทนด้วย n(S) เหตุการณ์ (event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ หรือ คือเหตุการณ์ที่เราสนใจตามเงื่อนไข โดย จานวนสมาชิกของ เหตุการณ์ แทนด้วย n(E) ตัวอย่างที่ 15 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมของของลูกเต๋าทั้งสองลูก จงเขียน 15.1 แซมเปิลสเปซ และ n(S) 15.2 E1 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคี่ 15.2 E2 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมีค่าน้อยกว่า 7 ความน่าจะเป็น (Probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจานวนสมาชิก 7
  • 8. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com ของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน ให้ n(E) แทนจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ n(S) แทนจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E n(E) จะได้ P(E) = n(S) ตัวอย่างที่ 16 ต้องการสร้างคาที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จากคาว่า “lofrance” โดยไม่คานึงถึงความหมาย จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 16.1 อักษรตัวแรกเป็นสระ 16.2 อักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายเป็นพยัญชนะ 16.3 คาที่ประกอบด้วยสระ 2 ตัวอยู่ติดกัน ตัวอย่างที่ 17 ถ้าสุ่มหยิบลูกปิงปอง 3 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีส้ม 4 ลูก และสีขาว 7 ลูก ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกปิงปองสีส้มทั้ง 3 ลูก เป็นเท่าใด 8